Multiplicación de Fracciones

La multiplicación de números fraccionarios, o cómo multiplicar fracciones, debemos multiplicar los numeradores y denominadores por separado y respectivamente con la otra fracción, para aclarar la manera de resolver estas operaciones a continuación se irán ampliando los conceptos para dar uno o varios métodos de resolver cada caso de la multiplicación de fraccionarios.

Definición de Multiplicación de Fracciones

El producto de fracciones es una operación matemática con números fraccionarios, que se da entre dos números de carácter racional, sean estos valores de carácter numérico o algebraico y de cuya operación se obtiene como resultado a otro número fraccionario.

En el caso de las fracciones de igual denominador o fracciones homogéneas, se procede de la misma manera que para las fracciones de diferente denominador o fracciones heterogéneas; de esta manera se multiplican los denominadores por los denominadores y los numeradores por los numeradores en línea recta y finalmente se simplifica la fracción si esto fuera necesario.

Además sucede lo mismo para la multiplicación de más de dos fracciones, donde se multiplican todos los denominadores entre sí y de la misma forma con los numeradores.

Propiedades de la Multiplicación de Fracciones

El producto de fraccionarios, también posee propiedades que deben ser tomadas en cuenta al momento de resolver operaciones multiplicativas.

Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.

\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{e}{f}

Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.

\left(\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}\right)\times \frac{e}{f}=\frac{a}{b}\times \left(\frac{c}{d}\times \frac{e}{f}\right)

Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.

\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{c}{d}\times \frac{a}{b}

Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:

\frac{a}{b}\times \left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)=\left(\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}\right)+\left(\frac{a}{b}\times \frac{e}{f}\right)

Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.

\frac{a}{b}\times 1=\frac{a}{b}\


\ \frac{a}{b}\div 1=\frac{a}{b}

 
 

Multiplicación de Fracciones con Números Enteros

Cuando multiplicamos una fracción con un número natural entero se opera de esta manera:

\frac{a}{b}\times c=\frac{a}{b}\times \frac{c}{1}=\frac{ac}{b}


En este caso tomamos en cuenta que el denominador de cualquier número entero es de 1 y por lo tanto cualquier multiplicación de una fracción con un número entero se multiplica al denominador por uno, es decir que mantiene el denominador de la fracción en cuestión.
 
 

Multiplicación de Fracciones Mixtas

Para empezar a multiplicar estas fracciones primero debemos definir que son las fracciones mixtas y las fracciones impropias.

Fracciones mixtas.- son aquellas en las cuales se combina un número entero y una fracción en el mismo número, por ejemplo:

2\frac{3}{4}

Fracciones impropias.- una fracción de esta índole, se caracteriza por que el numerador es mayor que el denominador, pero no significa que este mal, de hecho en las matemáticas es más fácil operar con fracciones impropias que con las mixtas, esta es una muestra de fracción impropia:

\frac{11}{4}

Al analizar bien ambos ejemplos, nos podemos dar cuenta que ambos tienen el mismo vales, pero el primero está representado en forma de fracción mixta, mientras que el segundo es una fracción impropia, y para poder realizar una multiplicación entre fracciones mixtas, primero se debe convertir en una fracción impropia, y esto se explica a continuación.

Para poder hacer que una fracción mixta esté representada como fracción impropia, tomamos la parte entera del número y la multiplicamos por el denominador, y ese resultado se lo suma al numerador y de esta manera armamos la fracción. Si tomamos el ejemplo anterior, podemos decir que se multiplicó la parte entera (2) por el denominador de la fracción (4) y luego con el resultado (8) lo sumamos al numerador (3) y obtuvimos (11), y luego al poner esta ultima suma sobre la fracción obtuvimos (11/4), que es una fracción impropia. La formula sería:

a\frac{b}{c}=\frac{ac+b}{c}

Ahora, para multiplicar una fracción mixta primero se la convierte en impropia y se procede con la multiplicación como se ha venido diciendo, multiplicando los denominadores y los numeradores. Por ejemplo:

2\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{11}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{22}{12}=\frac{11}{6}

Y si se lo requiere, se puede convertir esta fracción impropia en una fracción mixta, para volver a la forma original de la operación. Para hacerlo dividimos el numerador para el denominador y se deja el resto a un lado, el resultado (sin el resto) se escribe como el número entero y el resto va como numerador mientras se mantiene el mismo denominador, veamos:

Tenemos

\frac{11}{6}

Dividimos 11÷6=1 con resto 5

Escribimos 1 como entero y el resto 5 ponemos como numerador y el denominador queda igual, siendo el resultado:

1\frac{5}{6}

 
 

Multiplicación de Fracciones Algebraicas

Las multiplicaciones fraccionarias algebraicas no serán un gran problema, si ya conoces la manera de multiplicar fracciones comunes, pues el principio es el mismo, excepto que en algebra, existen valores desconocidos o literales que irán descubriéndose a medida que avances en la operación.

La respuesta del producto de fracciones algebraicas es otra fracción algebraica. Además al momento de multiplicar potencias deberás sumar los exponentes cuando posean la misma base, es decir que si el literal es diferente en cada fracción, las potencias no se suman, pero si son literales iguales, deberás sumarles de acuerdo a las propiedades de la potenciación.

 
 

Ejemplos de Multiplicación de Fracciones

Multiplicación simple:

\frac{1}{3}\times \frac{2}{5}=\frac{2}{15}

 
Multiplicación asociativa/distributiva:

\left(\frac{2}{7}\times \frac{3}{4}\right)+\frac{5}{28}=\frac{2\times 3}{7\times 4}+\frac{5}{28}=\frac{6}{28}+\frac{5}{28}=\frac{11}{28}

 
Multiplicación de fracciones con números enteros:

4\times \frac{3}{7}=\frac{4\times 3}{7}=\frac{12}{7}

 
Multiplicación de fracciones mixtas:

4\frac{1}{5}\times \frac{2}{9}=\frac{21}{5}\times \frac{2}{9}=\frac{42}{45}

 
Multiplicación de 3 fracciones:

\frac{1}{3}\times \frac{2}{5}\times \frac{4}{7}=\frac{8}{105}

 
Multiplicación de fracciones algebraicas:

\frac{x}{3}\times \frac{2}{3y}=\frac{2x}{9y}

 
Multiplicación de fracciones algebraicas con potencias

\frac{xy^3}{5}\times \frac{3y^2}{2y}=\frac{x\times 3y^{3+2}}{5\times 2y}=\frac{3{xy}^5}{10y}